Nous souhaitons utiliser les ondes mécaniques pour reconstruire les paramètres d'un objet. Ce sujet de recherche trouve des applications dans des domaines tels que le sondage sismique ou le génie civil. Quel que soit le domaine abordé, le traitement des données expérimentales nécessite de résoudre un problème direct et un problème inverse. Résoudre le problème direct consiste à supposer connus les paramètres mécaniques pour ensuite proposer un modèle qui permet de prédire le champ des déplacements et/ou des contraintes, résultant par exemple de l'application d'une force extérieure par un émetteur sur la surface de l'objet. A contrario, nous résolvons le problème inverse lorsque nous estimons au mieux les paramètres mécaniques de l'objet, à partir des champs mécaniques, que nous mesurons par exemple sur un ensemble de détecteurs positionnés sur sa surface. Nous considérons ici un objet (visco)élastique, isotrope et inhomogène. Les paramètres mécaniques tels que la masse volumique et les coefficients de Lamé sont représentés par des fonctions de l'espace. Ce problème inverse est délicat à résoudre car il est mal posé au sens de Hadamard, et que les mesures sont reliées aux paramètres de façon non linéaire. Les techniques de type Newton-Kantorovich font partie des méthodes permettant de le résoudre : leur principe de base consiste à linéariser localement le problème direct en calculant la dérivée de l'opérateur non linéaire décrivant le modèle de prédiction des mesures. Ce calcul conduit à la formulation explicite de l'opérateur de Fréchet, qui est ensuite utilisé pour résoudre itérativement le problème inverse. En effet, à chaque étape de ce processus itératif, nous inversons un problème direct linéarisé, dans lequel, une faible variation des mesures se retrouve reliée à une faible variation des paramètres mécaniques par l'opérateur de Fréchet. Comme ce dernier dépend de l'estimation des paramètres de l'objet faite à l'étape précédente, il doit être réestimé à chaque nouvelle itération. L'approche que nous proposons s'appuie sur le principe de réciprocité, les équations de l'élastodynamique sont réécrites au sens des distributions pour déduire des formes élégantes de l'opérateur de Fréchet. Ces dernières font intervenir le modèle direct qui prédit les données pour la configuration étudiée, et les modèles des configurations réciproques obtenus en permutant fictivement tour à tour l'émetteur avec les différents récepteurs. Ce principe a déjà été appliqué au calcul de l'opérateur de Fréchet dans le contexte des équations de Maxwell [1], puis repris dans différents schémas d'inversion pour des applications en imageries optique et micro-ondes [2]. Pour le problème traité ici, une forme particulière de l'opérateur de Fréchet a été obtenue en régime harmonique pour chaque paramètre mécanique. Ces formes ont ensuite été vérifiées numériquement par un modèle direct de prédiction basé sur une méthode spectrale [3], dans le cas particulier où l'objet est un milieu semi-infini stratifié de type sol. Cette première phase de travail constitue une étape clef dans l'élaboration d'une méthode inverse itérative appliquée à la caractérisation mécanique d'un milieu inhomogène.

Références :

[1] A. Roger,"Reciprocity theorem applied to the computation of functional derivatives of the scattering matrix", Electromagnetics, vol. 2, no. 1, pp. 69--83, 1982.

[2] S. Arhab and G. Soriano, "Inverse Wave Scattering of Rough Surfaces with Emitters and Receivers in the Transition Zone", Progress In Electromagnetics Research M, vol. 45, pp. 131--141, 2016.

[3] A. Mesgouez and G. Lefeuve-Mesgouez, "Transient solution for multilayered poroviscoelastic media obtained by an exact stiffness matrix formulation", International journal for numerical and analytical methods in geomechanics, vol. 33, no. 18, pp. 1911--1931, 2009.