Dans le cadre du contrôle non-destructif des structures mécaniques, une problématique intéressante est celle du contrôle de pièces en fonctionnement par l'étude de leur réponse au chargement qui leur est imposé par leur fonction. Dans ce travail, on s'intéresse à la détermination de chargements inconnus sur un bord d'un domaine à l'équilibre statique grâce à la mesure de déplacement et la connaissance de l'effort imposé sur un autre bord. Mathématiquement, ceci revient à résoudre un problème de Cauchy sur un système elliptique. 

Pour résoudre ce problème inverse, plusieurs méthodes ont été proposées, basées sur la minimisation de l'écart entre champ reconstruit et champ mesuré [Huang 97, Marin 04] , en incluant éventuellement une erreur sur la connaissance du comportement [Ladevèze 95, Andrieux 08]. Dans [Cimetière 01], une méthode originale, basée sur un procédé de régularisation évanescente est proposée. Dans le cas où on suppose le comportement interne parfaitement connu, il est possible de condenser le problème sur les bords, on trouve alors des méthodes itératives très proches des approches par décomposition de domaine pour les problèmes directs. La méthode KMF [Kozlov 91], à rapprocher des algorithems Dirichlet-Neumann, revient à reconstituer la condition au bord manquante par une succession de résolutions de problèmes n'utilisant chacun qu'une seule des données redondantes. Deux autres méthodes, duales l'une de l'autre, basées sur la théorie de Steklov-Poincaré, ont été proposées successivement dans [Azaiez 05] et [Kadri 11]. Ces méthodes ressemblent dans leur principe de résolution aux solveurs de type Schur primal (BDD) et dual (FETI).

L'objet de cette contribution est d'étudier des techniques de (multi)préconditionnement pour les approches de Stelov-Poincaré, ainsi que des techniques de régularisation par analyse spectrale qui en découle naturellement, pour différents solveurs de Krylov. Pour un préconditionnement bien choisi, il est possible à l'aide d'une analyse de Ritz après la résolution, d'améliorer la solution en supprimant les contributions les moins énergétiques pour un coût nul. 

La méthode sera illustrée sur des exemples numériques d'élasticité statique et appliquée à des mesures résultant d'un essai physique.