Les processus d'entraînement et de mélange dans une couche cisaillée turbulente sont impliqués dans de nombreuses situations industrielles. Dans le cas d'une couche de mélange spatiale plane, induite par deux écoulements en co-courant mais de vitesses différentes, l'écoulement est convectivement instable et amplifie toutes perturbations, ce qui se traduit par une très grande sensibilité aux conditions limites amont. Le contrôle de l'écoulement en boucle ouverte ou fermée en agissant sur ces conditions amont est donc pertinent pour, selon le besoin, augmenter ou réduire le mélange dû à la turbulence.

Outre les effets des rapports de vitesse et de densité entre les deux co-courants, de nombreuses études ont montré que des excitations périodiques agissent de manière significative sur le développement de la couche de mélange (Oster et al.:1978, Inoue:1992 et de Zhou and Wygnanski:2001). Ces excitations permettent de forcer un lâcher de tourbillons primaires avec ou sans appariement, modifiant profondément la structure de l'écoulement dans la couche de mélange et son évolution en aval, au moins dans la région de transition. Le contrôle en boucle fermée, plus robuste et efficace grâce à l'utilisation de mesures dans la boucle de contrôle permettant d'adapter la commande et de vérifier ses performances, a été plus récemment mis oeuvre dans le cas de la couche de mélange par Parezanovic et al. (2015) en utilisant différentes methodes (extremum-seeking adaptive control, POD mode feedback control et machine learning control), notamment pour maximiser l'énergie cinétique turbulente.

Dans notre article, nous montrons comment il est possible de réguler une couche de mélange spatiale autour d'un état de base correspondant à une solution stationnaire de l'écoulement lorsque celle-ci est soumise à des perturbations inconnues. Nous supposons néanmoins que ces perturbations agissent de façon similaire à l'actionneur chargé de modifier l'état de l'écoulement. Ces perturbations peuvent être en pratique un défaut de l'actionneur (comme une usure ou un colmatage par exemple). Il peut également s'agir d'une erreur de modélisation de l'actionneur, dans le sens où il n'agit pas comme le concepteur de la loi de commande s'y attend. Nous supposons également que la commande (et donc la perturbation) agit au niveau des conditions amont. Pour ce faire, nous avons adopté la démarche suivante. Tout d'abord, les équations de Navier-Stokes ont été linéarisées autour de l'état de base. La dynamique des écarts par rapport à cet état de base est alors décrite par un système linéaire invariant dont la variable d'état est exprimée en terme de fonction courant. Un retour d'état est ensuite calculé par contrôle optimal. Il est important de noter à ce stade que la fonction courant relative à l'écart de l'écoulement par rapport à son état de base exprime le comportement de l'écoulement modifié à la fois par la commande et la perturbation. Le terme de retour d'état mesure donc bien la perturbation. En pratique, cette mesure est supposée pouvoir être réalisée à partir de capteurs d'image (par exemple le flot optique). Nous prouvons ensuite la convergence (locale puisque le système a été linéarisé) asymptotique de la loi de commande à partir de l'équation d'état du système bouclé. Ce résultat, extrêmement intéressant, est ensuite validé grâce à l'utilisation d'un solveur des équations de Navier-stokes (Incompact3D). Nous montrons ainsi que même si la loi de commande est basée sur une approche linéarisée, la commande s'oppose à la perturbation de sorte que l'apparition des tourbillons primaires est rejetée bien plus loin en aval. Nous montrons également l'intérêt de mesurer l'état du système perturbé, et donc de tirer bénéfice de l'utilisation d'un contrôle en boucle fermée.