Contexte et motivations :

Les techniques d'imagerie en mécanique des solides et les méthodes de caractérisation qui en découlent sont en pleine expansion en laboratoire comme pour nombreuses applications industrielles. Dans des domaines variés de la physique, les méthodes récentes de mesure de champs permettent de contrôler expérimentalement le comportement d'un milieu donné sous l'action d'un chargement externe, et ce afin d'obtenir des mesures internes de champs physiques, tels que déplacement ou déformation, température ou encore, potentiel électrique. À partir de telles mesures, l'objectif général vise à reconstruire quantitativement des distributions de paramètres matériaux constitutifs d'intérêts, qui caractérisent le milieu ou l'échantillon d'étude.

Objectifs et méthode :

Dans le contexte considéré, les données typiquement disponibles prennent la forme d'un ensemble d'images numériques. L'originalité de la méthode proposée est d'adopter le point de vue des méthodes de traitement d'images. Plus spécifiquement, le problème inverse d'identification des propriétés matérielles est abordé via une formulation intégrale liant les champs mesurés aux champs de paramètres constitutifs. Ainsi, sur la base de développements asymptotiques dans le cas de matériaux de faibles contrastes ou, dans le cas général, en utilisant un algorithme de déconvolution d'image (implémenté dans le domaine de Fourier) l'approche proposée permet de reconstruire les paramètres matériaux constitutifs par une analyse directe des mesures de champs disponibles. L'algorithme proposé est construit sur une méthode itérative de gradient qui utilise de façon centrale la transformée de Fourier rapide afin d'optimiser les performances de calcul. Cette méthodologie sera décrite dans le cadre simplifié des problèmes de conductivité thermique ou électrique tout en étant généralisable à l'élasticité comme nous le verrons.

Bénéfice de la méthode :

La méthode proposée permet de reconstruire quantitativement des paramètres matériaux cibles par une déconvolution directe d'un ensemble d'images de mesures de champs. Ses principaux attraits sont les suivants :

- Méthode sans maillage fondée sur le traitement d'images 2D (pixels) ou 3D (voxels).

- Approche rapide et facilement parallélisable en raison d'une utilisation intensive de la transformée de Fourier rapide, ce qui représente un réel intérêt pour une identification « en ligne ».

- De multiples expériences peuvent être aisément combinées afin d'améliorer la qualité des reconstructions.

- Le bruit susceptible d'affecter les mesures est efficacement contrôlé dans le domaine de Fourier, le processus de régularisation s'effectuant via troncature spectrale.

- Un ensemble de configurations matérielles peuvent être abordées : modèles de conductivité ou élastiques, configurations matérielles isotropes ou anisotropes.

- Possible mise en œuvre d'une identification de propriétés matérielles « en ligne » via l'implémentation de la méthode sur cartes graphiques.

Plan :

Lors de cette communication, nous présenterons l'approche proposée via la description de la formulation intégrale du problème considéré. Nous verrons ensuite comme cette formulation peut être utilisée afin de reconstruire quantitativement des champs matériaux d'intérêts. La description de la méthode numérique développée et la présentation d'un ensemble de cas tests numériques, sur la base de données synthétiques, illustreront l'approche proposée.