Cette étude est consacrée à la modélisation du comportement mécanique effectif d'un matériau
hétérogène constitué d'une matrice isotrope dans laquelle sont distribuées de façon isotrope des
inclusions. Les différentes phases constitutives du composite ont un comportement viscoélastique
non linéaire.
Des estimations du problème viscoélastique linéaire, qui reposent sur le principe de correspon-
dance de Mandel [1] et le modèle de Mori-Tanaka [2], ont été obtenues pour des matériaux non
vieillissants (voir par exemple [3]). Ces estimations ont par la suite été exprimées sous une formu-
lation à variables internes [4] dans le cas des matériaux vieillissants à deux phases puis étendues
par [5] au cas triphasé (deux phases inclusionnaires).
Le travail présenté ici étend le modèle [4] au cas où les phases ont un comportement non
linéaire. Dans cette approche la relation entre la vitesse de déformation visqueuse et la contrainte
est linéarisée autour de quantités homogènes par phases. La linéarisation de la loi de comporte-
ment s'appuyant sur le moment d'ordre un des contraintes conduit à des estimations irréalistes
dans des situations de chargement d'intérêt (gonflements différentiels entre les phases). Pour cor-
riger ces écarts, une approche de linéarisation basée sur le moment d'ordre deux dans la matrice
est proposée, l'évolution temporelle du moment d'ordre deux étant établie au prix de certaines
hypothèses simplificatrices. Les résultats qui en découlent, comparés à des solutions de référence,
améliorent significativement les estimations précédentes mais présentent des limites. Les limites
de cette approche par linéarisation autour des moments d'ordre deux peuvent être aussi mises
en évidence en considérant une microstructure particulière (la sphère composite), situation pour
laquelle une solution analytique a été établie ([6]).
1Dans cette contribution, plusieurs voies d'amélioration sont envisagées et présentées dans le
but d'améliorer les estimations proposées dans le cas non linéaire. La première alternative con-
cerne la méthode du second ordre améliorée introduite par P. Ponte Castañeda [7] pour des phases
obéissant à un comportement purement viscoplastique. Cette approche, basée sur une formula-
tion variationnelle, utilise une méthode de linéarisation «affine» faisant intervenir les moments
d'ordre deux des fluctuations des champs, méthode qui est ici transposée au cas viscoélastique
non linéaire. D'autres idées d'améliorations portant sur la formulation à variables internes sont
également étudiées. Les résultats obtenus avec les différentes voies d'amélioration proposées seront
systématiquement comparés avec des solutions de références.
References
[1] J. Mandel. Cours de mécanique des milieux continus. Gauthier-Villars, Paris, 1966.
[2] T. Mori and K. Tanaka. Average stress in matrix and average elastic energy of materials with
misfitting inclusions. acmt, 21:597–629, 1973.
[3] Y.M. Wang and Weng G.J. The influence of inclusion shape on the overallviscoelastic behavior
of composites. J. Appl. Mech, 59:510–518, 1992.
[4] J.-M. Ricaud and R. Masson. Effective properties of linear viscoelastic heterogeneous media:
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[5] Blanc V., Barbie L., Largenton R., and R. Masson. Homogenization of linear viscoelastic three
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10:1889–1894, 2011.
[6] Seck M. El Bachir., Garajeu M., and R. Masson. Solutions exactes d'une sphère composite
viscoélastique non linéaire sous chargement isotrope. XIII éme Colloque Franco-Roumain de
Mathématiques Appliquées, IASI, 2016.
[7] P. Ponte Castañeda. Second-order homogenization estimates for nonlinear composites incorpo-
rating field fluctuations. I. Theory. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 50:737–757,
2002.