Le contrôle passif a pour but de réduire les vibrations d'une structure sans apport d'énergie afin de la protéger d'éventuels dégâts, voire de la rupture, ou plus simplement dans le but d'assurer le confort des usagers. L'amortisseur harmonique linéaire, ou Tuned Mass Damper (TMD) [1], est un système faisant partie des plus utilisés et des plus connus. Il est néanmoins avantageux d'utiliser des amortisseurs non linéaires (NES), qui permettent de diminuer sensiblement la masse ajoutée et de permettre un fonctionnement pour une gamme de fréquences de sollicitation plus large [2].

Récemment, des études ont prouvé l'efficacité d'un NES constitué de deux oscillateurs montés en série [3,4]. Le but de ce travail est d'étendre cette idée à l'étude d'une chaîne de NES. Un système linéaire, soumis à une sollicitation externe, est couplé à une chaîne de N oscillateurs non linéaires en série vers laquelle l'énergie vibratoire du système primaire est transférée. Les oscillateurs de la chaîne sont supposés très légers en comparaison du système principal.

Une méthodologie analytique de traitement des équations de l'équilibre dynamique, issue de la généralisation d'une méthode appliquée à des systèmes à deux degrés de liberté [5], est présentée. Après l'utilisation d'une méthode dite de complexification-moyenne (complexification et méthode de Galerkine), une méthode d'échelles multiples en temps est mise en place. Des échelles de temps reliées entre elles par le faible ratio de masse entre oscillateurs non linéaires et système primaire sont introduites et le comportement du système est étudié à chacune de ces échelles. À l'échelle de temps rapide, la variété invariante lente, ou Slow Invariant Manifold (SIM), est calculée. Ce SIM rassemble tous les comportements asymptotiques vers lesquels le système pourrait tendre. À la première échelle de temps lente, les points d'équilibre et les points singuliers sont mis en évidence. Ils permettent de discriminer deux types de comportements asymptotiques que le système peut subir autour du SIM. Les points d'équilibre correspondent à des régimes périodiques, qui sont ici des modes non linéaires du système, et les points singuliers à des régimes quasi-périodiques caractérisés par des sauts répétés du système autour de zones instables du SIM, donnant lieu ici à des bifurcations entre modes. Ces points donnent une évaluation complète des amplitudes finales du système et permettent de vérifier qu'une part importante de l'énergie de la structure primaire est transférée vers la chaîne. Ces prédictions analytiques sont ensuite comparées et validées par des simulations numériques obtenues par intégration temporelle directe des équations initiales.

Cette méthode peut par ailleurs s'appliquer par le biais de deux approches. La première considère la chaîne comme un assemblage discret d'oscillateurs quand la seconde l'appréhende comme un continuum. Cette approche continue remplace les N variables des masses de la chaîne par une fonction continue d'une variable d'espace, conduisant ainsi à l'étude d'équations aux dérivées partielles et non plus à un système de N équations.

[1] H. Frahm, Device for damping vibrations of bodies, US Patent 989,958 (1911).

[2] O. V. Gendelman, A. F. Vakakis, Transitions from localization to nonlocalization in strongly nonlinear damped oscillators, Chaos, Solitons & Fractals 11 (2000) 1535–1542.

[3] Quinn, D. D., et al., Equivalent modal damping, stiffening and energy exchanges in multi-degree-of-freedom systems with strongly nonlinear attachments, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part K Journal of Multi-body Dynamics 226(K2) (2012) 122–146.

[4] N.E. Wierschem, et al., Experimental Testing and Numerical Simulation of a Six-Story Structure Incorporating Two-Degree-of-Freedom Nonlinear Energy Sink, Journal of Structural Engineering 140 (2014) 04014027.

[5] S. Charlemagne, et al., Interactions Between Two Coupled Nonlinear Forced Systems: Fast/Slow Dynamics, International Journal of Bifurcation and Chaos 26 (2016) 1650155.