Les approches non déterministes de nature ensembliste ou probabiliste, les plans d'expériences, les analyses de sensibilités ou encore les optimisations multi objectifs sont de plus en plus présents durant la phase de conception et de dimensionnement des structures mécaniques. L'objectif est de tendre vers une meilleure fiabilité et une robustesse accrue des produits. Un des points communs à ces outils numériques est d'avoir recours à de multiples évaluations du problème étudié pour diverses valeurs de paramètres physiques (géométrie, matériau, CL,...) du modèle numérique utilisé.

Pour faciliter la mise en place d'approches dites multi paramétriques, il est primordial de développer de nouveaux outils de résolution appropriés, alternatifs aux méthodes de résolution classiques. Ceux-ci doivent permettre d'approximer les champs mécaniques, pour des modèles numériques de plus en plus complexes et de taille matricielle croissante, avec un haut degré de précision tout en conservant des temps de calcul compatible avec l'exigence des contraintes industrielles.

Dans cet article, on se focalise sur le problème de prédiction de charges critiques de flambement de structures mécaniques, où des paramètres matériau, géométriques et topologiques du modèle éléments finis sont sujets à des variabilités.

Dans un premier temps, en considérant un cadre numérique commun, on évalue l'efficacité de métamodèles, déjà établies dans de nombreux domaines du calcul des structures, tels que le krigeage, les fonctions à base radiale (RBF) et la décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD). L'étude est menée en fonction de paramètres clés, tels que le nombre de tirages, la nature des fonctions de corrélation ou le nombre de nombre de modes de référence.

Dans un second temps, on propose l'extension de méthodes de perturbations (développées initialement pour des applications en analyse linéaire statique et aux valeurs propres [1, 2, 3]) pour la prédiction de charges critiques de flambement. Dans le problème actuel, ces deux analyses sont successivement effectuées pour calculer les matrices de rigidité linéaire et géométrique puis la charge critique de flambement, qui est nécessairement affectée par les variabilités. Plusieurs modèles d'approximation construits à partir de développements homotopiques, comme les développements en série, les approximants de Padé ou encore les techniques de projection, sont comparés en fonction des ordres de troncature retenus pour chaque analyse. Un bilan des précisions et des temps de calculs associés est fourni.

Finalement, un modèle d'ordre réduit est construit pour pallier aux faiblesses des différentes approches précédemment citées. Celui-ci est construit à partir de l'agrégation de données nominales du problème étudié ainsi que des vecteurs d'ordre élevé obtenus par développement homotopique pour chaque direction de paramètres étudiés. Ce modèle permet de caractériser, à moindre coût, les échantillons nécessaires à la définition du modèle POD. L'objectif est d'identifier un couplage optimal et modulaire de méthodes numériques pour obtenir le compromis recherché, c'est-à-dire un couple précision/temps de calculs compatible avec des modèles de nature industrielle.

[1] H. Do, F. Massa, T. Tison, B. Lallemand (2017). A global strategy for the stability analysis of friction induced vibration problem with parameter variations, Mechanical Systems and Signal Processing, 84(Part A), 346-364,

[2] F. Massa, B. Lallemand, T. Tison, Multi-level homotopy perturbation and projection techniques for the reanalysis of quadratic eigenvalue problems: The application of stability analysis, Mechanical Systems and Signal Processing 52-53 (2015) 88 - 104.

[3] F. Massa, T. Tison, B. Lallemand, O. Cazier, Structural modal reanalysis methods using homotopy perturbation and projection techniques, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 200 (45-46) (2011) 2971 - 2982.