L'efficacité du mélange turbulent dans les fluides stratifiés reste un problème largement ouvert, aux nombreuses applications géophysiques et industrielles. Ce problème peut être simplement formulé: pour une certaine quantité d'énergie injecté dans un écoulement, quelle partie est utilisée pour mélanger le champ de densité de manière irréversible?

Dans ce contexte, nous avons réalisé un ensemble de simulations numériques directes (DNS) d'un fluide stratifié turbulent 3D en résolvant l'équation de Navier-Stokes avec approximation de Boussinesq. Une méthode standard pseudo-spectrale (Fourier) est utilisée avec 1024^3 points. Une zone poreuse de pénalisation est introduite pour prendre en compte les conditions aux limites de non flux et de vitesse nulle, en haut et en bas de la boîte alors que le plan horizontal est périodique. Un champ de vitesse turbulente est imposé initialement, il perturbe le champ de flottabilité initialement stable : l'écoulement stratifié est dans un état de turbulence décroissante. La simulation est effectuée sur ~ 48 temps de retournement initial t = L / U (où L et U sont respectivement l'échelle de longueur intégrale et la vitesse moyenne des fluctuations turbulentes initiales). Les paramètres de la simulation sont choisis pour fixer le nombre de Reynolds à Re = 1000 et nous avons fait varier le nombre de Richardson sur une large gamme de valeurs : Ri = 1,4,64,256,1024,4096.

Selon Winters et al. 1995, il est possible de distinguer :
* l'énergie cinétique Ec
* l'énergie potentielle Ep associée au champ plein de flottabilité

* l'énergie potentielle de fond Eb associée au champ de flottabilité trié verticalement

* l'énergie potentielle disponible Ea = Ep - Eb

 

 Nous avons pu obtenir un bilan d'énergie impliquant ces quantités ainsi que leur transfert au cours du temps. Le transfert de l'énergie cinétique Ex vers l'énergie potentielle Ep sature au bout d'un certains de temps de retournement lié au nombre de Richardson. Cette saturation est associée à un maximum d'énergie disponible Ea, alors que l'énergie potentielle de fond Eb croit de manière monotone mais plus rapidement lorque le nombre de Richardson est élevé (??).

 Nous avons ensuite calculé l'efficacité de mélange, définie comme le rapport entre la quantité d'énergie de fond (Eb) dissipée au cours de la simulation et la quantité totale d'énergie injecté. Récemment, une approche issue de la mécanique statistique a été proposée afin de modéliser les variations de cette efficacité de mélange en fonction du nombre de Richardson (Venaille et al. 2016). Nous obtenons une très bonne concordance entre les résultats de DNS et les prédictions théoriques.