Dans le but de modéliser en temps réel le comportement dynamique en régime transitoire de train tiges de forage confinées dans un puits, il faut utiliser des techniques numériques économes en temps de calcul. Les méthodes d'intégration temporelle pas-à-pas [1], telles que celles de Runge-Kutta (RK), [2, 3, 4] ou de Newmark (NM) [5] sont nécessaires pour calculer la réponse transitoire non linéaire, mais sont coûteuses en temps. Il convient donc d'améliorer leur efficacité.

Dans les méthodes de RK, c'est le schéma explicite d'ordre 4 qui est le plus largement répandu. Comme celui-ci exprime l'état actuel du système en fonction de son état précédent, il est donc simple à implémenter. Néanmoins, le pas de temps doit être suffisamment petit pour satisfaire la condition de stabilité. De plus, la taille du système d'équations à résoudre est doublée car le système est décomposé en deux systèmes d'équations différentielles du 1er ordre.

Pour les systèmes linéaires, les schémas de NM [5] sont inconditionnellement stables même avec un pas de temps plus grand que celui des schémas explicites. Cependant la nécessité d'inverser les matrices à chaque pas de temps pénalise les temps de calcul. D'autre part, à cause des non-linéarités des systèmes mécaniques, il est usuel d'introduire à chaque pas de temps l'algorithme itératif de Newton-Raphson, (NR) qui impose le traitement délicat des matrices jacobiennes. Afin d'éviter l'appel à NR, une technique approximative est d'affecter au temps i+1 la valeur de la force non linéaire connue au temps i. 

D'une façon générale, adapter le pas de temps améliore grandement l'efficacité des schémas numériques, notamment ceux de RK [4] et NM [6, 7]. Le modèle proposé ici, repose sur le schéma de NM à accélération constante qui allie la technique pour s'affranchir de NR et l'algorithme à pas adaptatif calculé utilisé dans [6, 7]. Son efficacité est démontrée en le comparant à d'autres schémas existants dans les cas d'un oscillateur à double butées et de la déflexion d'une poutre avec butée latérale répartie.

Remerciements

Cette recherche est réalisée dans le cadre de DRILLAB, laboratoire commun à la société DrillScan et le LaMCoS, membre de l'institut Carnot Ingénierie@Lyon. DRILLAB a été fondé grâce au programme de l'ANR Laboratoires communs organismes de recherche publique – PME/ETI, ANR-15-LCV4-0010.

Références

[1] Y. M. Xie, An Assessment of time integration schemes for non-linear dynamic equations, J.ournal of Sound and Vibration, 192(1), 321-331 (1996)

[2] C. Runge, Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen. Math. Ann. 46, 167–178 (1895)

[3] Kutta, M. Wilhelm, Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 46, 435-453 (1901)

[4] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran, Cambridge University Press, (1992)

[5] N. M. Newmark, A method of computation for structural dynamics, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE 85, 67-94 (1959)

[6] O. C. Zienkiewicz, Y. M. Xie, A simple error estimator and adaptive time stepping procedure for dynamic analysis, Earthquake engineering and structural dynamics, 20, 871-887 (1991)

[7] D. Kuhl, E. Ramm, Generalized energy-momentum method for non-linear adaptive shell dynamics, Comput. Methods Appl. Mech.