Dans ce travail une étude numérique est entreprise pour un écoulement dans une conduite présentant une section de sa paroi constituée d'un matériau déformable et dont la déformation est imposée analytiquement. De nombreuses études numériques et expérimentales se sont intéressées à la dynamique de l'écoulement d'un fluide proche d'une paroi déformée car cela présente de nombreuses applications industrielles par exemple en aérodynamique, hydrodynamique ainsi qu'en biophysique pour la modélisation des écoulements sanguins. Une majeure partie de la littérature ne traite que du cas de couches limites proches d'une paroi planes déformée. Dans cette configuration, P.Y. Passagya [1] a remarqué que la cellule de recirculation qui se forme en aval de la déformation peut générer localement un point d'inflexion dans l'écoulement et engendrer un lâcher tourbillonnaire.

Dans l'étude numérique proposée d'un écoulement entre deux plaques, la partie déformable des parois est localisée sur une longueur définie de la paroi supérieure. La déformation est supposée prendre la forme d'une fonction gaussienne et sa position ainsi que son évolution temporelle sont imposées, et supposées ne pas être modifiées par le fluide. La géométrie considérée a pour conséquence de créer un point d'inflexion dans l'écoulement susceptible de produire une instabilité de Kelvin Helmholtz permettant ainsi de produire du mélange pour des nombres de Reynolds modérés.

Dans un premier temps, l'étude portera sur le cas d'une paroi déformable figée dans le temps, dans un second temps la position de la paroi déformable modélisée par une fonction dépendante du temps. Pour pouvoir réaliser cette étude, un solveur spectral bidimensionnel a été mise au point. Dans l'espace spectral, les points de maille restent immobiles tout au long de la simulation bien que la géométrie du système évolue ce qui présente deux atouts majeurs :

• Ne pas avoir à recalculer les opérateurs de dérivation à chaque pas de temps mais uniquement le passage de l'espace numérique à l'espace physique.

• Avoir un maillage qui reste immobile dans le temps permet d'éviter toutes les erreurs liées aux interpolations sur de nouveaux points de maille entre deux instants du calcul.

Les résultats obtenus avec ce solveur sont comparés avec les résultats obtenus en utilisant un logiciel de simulation numérique dans le cas stationnaire bidimensionnel. L'influence d'un confinement dans la troisième direction sur la dynamique de l'écoulement a aussi été étudiée avec le même logiciel de simulation. Bénéficiant de l'avantage de réaliser ses calculs dans un espace spectrale carré non-physique, ce solveur est particulièrement efficace et précis pour les systèmes comportant une géométrie qui évolue dans le temps. Pour valider cette précision une étude expérimentale est en cours de développement.

[1] P. Y. Passaggia Instabilités d'écoulements décollés et leur contrôle, thèse de doctorat. Université d'Aix Marseille france.