Les dispositifs microscopiques, comme les micro-turbines ou les échangeurs de chaleur à micro-canaux, sont couramment utilisés dans l'industrie. Les écoulements dans les micro-canaux ont ainsi été discutés dans un grand nombre de travaux aussi bien théoriques que numériques ou expérimentaux. Pour étudier les écoulements gazeux dans ces tubes microscopiques, les méthodes DSMC sont adaptées mais coûteuses en temps de calcul. Le développement de modèles asymptotiques est donc pertinent.

Dans cette contribution, on considère l'écoulement stationnaire et axisymétrique, d'un mélange de deux gaz parfaits compressibles dans un micro-canal circulaire. Le long de la paroi du canal, dans sa direction axiale, un gradient de température est appliqué. Ce gradient de température, ainsi qu'une différence de pression entre les deux extrémités du canal, provoquent le mouvement des gaz. L'écoulement ainsi obtenu possède un nombre de Knudsen de l'ordre de 0,1 ; il est modérément raréfié. Dans ce régime, dit glissant, les équations du mouvement sont les lois de bilan usuelles pour la masse, la quantité de mouvement et l'énergie avec des termes additionnels de couplage obtenus à partir d'un modèle cinétique de type BGK. Les conditions d'adhérence aux parois usuelles doivent, néanmoins, être remplacées par des conditions de saut pour la vitesse et la température. Des conditions du premier ordre seront utilisées.

Le rapport d'aspect du canal, ε, est le petit paramètre de l'étude. Pour chaque gaz, on introduit le nombre de Mach et le nombre de Reynolds construit avec la longueur caractéristique longitudinale. Le nombre de Knudsen de chaque espèce, construit avec la dimension transverse, s'exprime aisément à partir de ces deux nombres sans dimension. Les vitesses caractéristiques dans chaque direction sont identiques pour les deux gaz. Afin d'étudier les dégénérescences significatives, on suppose que les nombres de Reynolds et de Mach sont petits ou d'ordre unitaire. L'analyse des ordres de grandeur des différents termes et le choix d'une dégénérescence physiquement cohérente, conduit à des nombres de Mach d'ordre ε et a des nombres de Reynolds et de Knudsen d'ordre unité.

 Au premier ordre d'approximation, le mouvement est décrit par huit équations. Les projections radiales du bilan de quantité de mouvement conduisent à des pressions ne dépendant que de la variable d'espace longitudinale. Les termes de couplages sont conservés dans les projections axiales du bilan de quantité de mouvement et dans les équations de bilan d'énergie de chaque gaz.

A partir des deux équations d'énergie et des conditions pariétales pour les températures, on montre que chacun des deux gaz est en équilibre thermique avec la paroi du canal, au premier ordre d'approximation. La projection axiale du bilan de quantité de mouvement de chaque gaz permet d'exprimer les vitesses longitudinales comme les solutions d'équations de Bessel modifiées et ainsi d'en obtenir une expression explicite en fonction des pressions et de leurs dérivées. Grâce aux bilans de masse, les pressions dans chaque gaz sont solutions de deux équations différentielles ordinaires, du second ordre, couplées, linéaires à coefficients non constants fortement non linéaires en fonction de la variable d'espace axiale. Ces équations sont résolues avec MATLAB pour des valeurs données des pressions et des débits massiques à l'entrée du canal. Dans cette contribution, nous étudions les écoulements de différents couples de gaz ainsi que l'influence du débit d'entrée et du gradient de température le long du canal. Les résultats sont comparés à des simulations de Monte Carlo et à des résultats de la littérature. Alors qu'il faut plusieurs jours pour obtenir une solution par la méthode DSMC, la résolution numérique des équations asymptotiques ne prend que quelques secondes.