Les limites de l'instrumentation expérimentale actuelle engendrent plusieurs difficultés comme par exemple le fait que les mesures, sont éventuellement entachées d'un bruit, ne se font que sur une partie de l'échantillon ou que les conditions aux limites sont mal connues. Ces difficultés donnent naissance à des problèmes d'identification qui peuvent être considérés comme des problèmes inverses.

Une méthode inverse (méthode de régularisation évanescente) a été introduite précédemment pour résoudre des problèmes inverses d'identification de conditions aux limites inaccessibles à la mesure à partir de mesures surabondantes disponibles sur une partie de la frontière (problème de Cauchy associé à l'équation de Laplace [1][2] ou à l'équation de Lamé [3]). La méthode de régularisation évanescente repose sur l'idée de chercher parmi toutes les solutions d'équilibre celle qui s'approche au mieux des conditions aux limites disponibles sur une partie de la frontière. La résolution du problème inverse est ramenée à une suite de problèmes d'optimisation sous contraintes (algorithme de point fixe) faisant intervenir plusieurs termes. Le premier terme des fonctionnelles est un terme de relaxation qui représente l'écart entre les données et la solution optimale calculée. Le second terme agit sur tout le domaine et exprime la distance entre deux solutions optimales. Ce terme de régularisation tend vers zéro au fur et à mesure des itérations. La solution ainsi calculée ne dépend pas d'un coefficient de régularisation, vérifie l'équation d'équilibre et est stable vis à vis du bruit sur les données puisque celles-ci sont recalculées afin d'être compatibles. La méthode est, en particulier, capable de débruiter les données, est généralisable à tout opérateur elliptique et peut être implémentée par différentes méthodes numériques (méthode des éléments finis, méthode des éléments de frontière, méthode des solutions fondamentales,...).

Nous présentons ici la généralisation de la méthode de régularisation évanescente aux problèmes d'identification à partir de mesures de champs partielles où le champ est uniquement mesurable sur une zone centrale du domaine étudié. Avec notre technique, nous reconstruisons le champ solution de l'équation d'équilibre sur l'ensemble du domaine et les conditions aux limites qui étaient inaccessibles à la mesure. La technique fait naturellement apparaître, dans la zone centrale où les mesures sont disponibles, un résidu comprenant le bruit de mesures et les éventuels écarts à l'équilibre. La méthode est implémentée, en thermique et en élasticité linéaire, en utilisant la méthode des éléments finis. Elle est validée avec des données synthétiques mais est aussi appliquée à des situations expérimentales en utilisant des mesures de température ou en utilisant des champs de déplacements obtenus par corrélations d'images. L'exploitation de ces mesures permet de mettre en évidence les performances et la robustesse, vis à vis de données bruitées, de la méthode.

Références
[1] A. Cimetière, F. Delvare, and F. Pons. Une méthode inverse à régularisation évanescente. Comptes
Rendus de l'Académie des Sciences-Series IIB-Mechanics, 328(9) :639–644, 2000.

[2] A. Cimetière, F. Delvare, M. Jaoua, and F. Pons. Solution of the Cauchy problem using iterated
Tikhonov regularization. Inverse Problems, 17(3) :553–570, 2001.

[3] F. Delvare, A. Cimetière, J.-L. Hanus, and P. Bailly. An iterative method for the Cauchy problem
in linear elasticity with fading regularization effect. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, 199(49) :3336–3344, 2010.